Сказка «О равностороннем треугольнике».
Автор Чуринова Катя 6 «Б» класс.
Эти сказки были придуманы моими учениками 6-классниками в качестве итогового творческого домашнего заданиями в курсе «
пропедевтика геометрии 6 класс». В школе проходил КВН между 6-ми классами одной параллели и эти сказки были выбраны лучшими домашними заданиями для инсценировок. Учащиеся подошли творчески к подготовке праздника геометрии.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Сказка «О трех треугольниках».
Жили-были три брата треугольника: старший был прямоугольный, средний – остроугольный, а младший – тупоугольный. И задумали братья поехать в город на ярмарку.
В то время провозгласил царь Тетраэдр, что тот, кто решит задачу, тому он отдаст в жены свою единственную дочь – красавицу Пирамиду Правильную. О красоте Пирамиды слагали оды. И не раз приходили смельчаки со всех концов света попытаться решить задачу царя.
И задумали братья попытать счастья. Пришли они во дворец и узнали, что тот, кто не решит задачу, будет казнен. Прямоугольный и Остроугольный испугались и решили уйти. А Тупоугольный так влюбился в Пирамиду, что решил попытаться.
Царь задал задачу:
Площадь дворцового сада 27,3 м
2
, площадь дворца на 4,8 м
2
меньше, чем сада, а площадь города в 1,6 раз больше площади дворца. Чему равна площадь трех участков вместе?
Тупоугольный предложил следующее решение:
- 27,3 – 4,8 = 22,5 (м
2
) - 22,5 * 1,6 = 36 (м
2
) - 27,3 + 22,5 + 36 = 85,5 (м
2
)
Решение оказалось правильным. Царь Тетраэдр отдал свою дочь замуж. И жили молодые долго и счастливо.
Сказка «О равностороннем треугольнике».
В некотором царстве, в некотором государстве, за тридевять земель, в тридесятом государстве жил-был сильный, могучий, прекрасный молодец Равносторонний Треугольник. Самый лучший из всех треугольников, красавец, стороны все одинаковые. Вот как-то ему захотелось мир повидать, да себя показать. Взял он с собой близкого друга Прямоугольного Треугольника.
Пошли они мимо геометрического пруда, через лес биссектрис, через туманные плоскости. Вдруг видят: сидит посреди дороги огромный грозный Прямоугольник, загородил собой всю дорогу – не пройти, ни проехать.
Прямоугольник говорит им:
И друзья Треугольники ответили не задумываясь:
Это периметр!
Разозлился прямоугольник, не встречал он еще таких умных путников. И от злости раскололся на два квадрата, которые до сих пор лежат по бокам дороги. Пошли друзья дальше. Через какое-то время услышали они призыв о помощи. Высоченный Овал просил помочь ему вспомнить определение длины.
Я раньше был круглым-прекруглым, но как-то упал и растянулся.
Друзья треугольники не оставили его в беде, и Овал снова вернулся в форму круга. И они взяли его с собой. Все дальше и дальше они ехали и оказались на самом краю света, где восходит красное солнышко. Вдруг видят прекрасный дворец из сверкающих параллепипедов. Правителем дворца был мудрый Градус, и была у него прекрасная дочь Биссектриса.
Внимание! Внимание! Внимание! Великий Градус объявил турнир. Победитель турнира получит прекрасную Биссектрису в жены и пол царства в придачу!
Равносторонний Треугольник решил попробовать свои силы на этом турнире. Съехалось множество участников, но никто не мог отгадать три загадки Градуса. И лишь Равносторонний Треугольник смог ответить.
Первая загадка:
Как найти площадь прямоугольника?
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Вторая загадка:
Без этого не обходится ни одна геометрическая фигура. Это имеет единицу измерения, такую же, как температура, и состоит из четырех букв, первая из которых также является предлогом, а три остальные то, что может вызвать радость или огорчение у болельщиков.
И опять только правильно смог ответить Равносторонний Треугольник.
Это угол!
Третья загадка:
Сколько будет пять умножить на пять?
Все кричали разные ответы: 24, 26, и даже 0! Но опять же правильный ответ дал Равносторонний Треугольник:
Произведение будет равно 25!
Равносторонний Треугольник получил в жены прекрасную Биссектрису и половину царства. И жили они долго и счастливо.
Сказка «Страшное письмо».
Жили-были два Квадрата. Один раз они сидели дома. И вдруг кто-то постучал в дверь. Первый Квадрат побежал отворять. Оказался Круг с письмом. Квадрат, радостный вбежал в комнату с письмом в руках.
Может быть, это про нашего Дружка! – сказал второй Квадрат и стал разбирать на конверте адрес, который был написан неразборчивыми каракулями.
Весь конверт был усеян штемпелями и наклейками с надписями.
Это не нам письмо,- сказал, наконец, первый Квадрат. Это нашему папе Прямоугольнику. Какой-то шибко грамотный Овал писал. В одном слове две ошибки сделал: вместо «Песчаная улица», написал «Печная улица». Видно, письмо долго по городу ходило, пока куда надо не дошло…
Папа Прямоугольник! – закричал второй квадрат. Тебе письмо от какого-то овального грамотея!
Что за овальный грамотей?!
А вот почитай письмо.
Папа Прямоугольник разорвал конверт и стал читать вполголоса:
-«Милый папочка Прямоугольник! Разреши мне держать маленького щеночка Ромбика. Он очень красивый, весь рыжий, а ухо черное, и я его очень люблю… »
Что это? – спрашивает папа Прямоугольник, — это ведь ты писал!
Первый квадрат засмеялся и посмотрел на брата Квадрата. Второй квадрат покраснел, как вареный рак и убежал.
***
Жили-были два брата:
Треугольник с Квадратом.
Старший – квадратный,
Добродушный, приятный.
Младший – треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать Квадрат:
«Почему ты злишься, брат?»
Тот кричит ему: «Смотри:
Ты полней меня и шире.
У меня углов лишь три,
У тебя же их четыре».
Но Квадрат ответил: «Брат!
Я же старше, я квадрат».
И сказал еще нежней:
«неизвестно, кто нужней!»
Но настала ночь, и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато
Срезать старшему углы.
Уходя, сказал: «Приятных
Я тебе желаю снов!
Спать ложился – был квадратным,
А проснешься без углов!»
Но наутро младший брат
Страшной мести был не рад.
Поглядел он – нет квадрата.
Онемел… Стоял без слов…
Вот так месть! Теперь у брата
Восемь новеньких углов!
Сказка о треугольниках
Жила на свете важная геометрическая фигура. Важность её признавалась всеми людьми, ибо при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. Любимая песенка этой чудо фигуры
Меня знает каждый школьник,
И зовусь я треугольник.
У меня вершины три,
Также три и стороны.
Два угла при основании мои равны и боковые стороны одинаковые, думал треугольник и решил назвать себя равнобедренным.
Скучно было равнобедренному треугольнику одному, отправился он искать друзей. Встречает как-то фигуру: стороны три и угла три. Вот только один угол прямой! Ура! Это прямоугольный треугольник! Стали они дружить.
Вместе трудиться, вместе веселиться. Как – то встретили отрезок и решили поэкспериментировать: приложили его одним концом к вершине, а другим к середине противоположной стороны. Красота, это будет МЕДИАНА! Попробуем ещё – поделим угол пополам!
Все также скачет по углам
Веселая, смешная крыса.
Мы делим радость пополам,
А делит угол биссектриса.
Вот так они проводили досуг. Однажды гуляя по лесу, встретили очень похожую парочку. Познакомились и стали играть в сравнение. Прижался равнобедренный треугольник к похожему на себя и все точки совпали. Ура! Мы одинаковые. Думали они о равенстве думали и придумали три теоремы:
-если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны;
— если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны;
— если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Много времени проводят вместе друзья и встречают новых.
Сливовая Косточка.
Как и положено, в сказке начнем с жила была. Итак, жила была на свете Сливовая Косточка. Когда – то давно её бросили в ящик письменного стола и с тех пор забыли. Сливовая Косточка быстро познакомилась со своими соседями: ручками, карандашами, тетрадями. Все это были важные и блестящие особы! Они постоянно говорили о своей нужности и важности. Все без исключения, даже ластик, смотрели на Сливовую Косточку свысока и частенько упрекали её в совершенной бесполезности. Потому пришлось ей занять самый дальний и темный уголок ящика.
Иногда ящик выдвигали, и кто-то надолго пропадал. Возвращались жители притихшими в плачевном состоянии: тетради мятыми исписанными, а иногда и попросту рваными, карандаши и ручки ломанными и даже обкусанными. Они уже больше не хвастались, но и о своих приключениях никогда не рассказывали. Многие исчезали совсем.
И когда в ящике не осталось ни одной блестящей особы его и вовсе перестали открывать. Сливовая Косточка высохла, покрылась пылью. Ей казалось, что она вот-вот умрет, силы покидали её. Ящик вытащили из стола и всех выбросили в мусорный контейнер, а Сливовая Косточка упала мимо и этого даже никто не заметил.
Пошел дождь. Потоком воды подхватило, дрожащую от страха, Сливовую Косточку и отнесло на заброшенный пустырь заросший лопухами и крапивой. Огромное множество муравьёв немедленно окружили гостью. И потащили к себе в подземный муравейник. Ну, вот и все – думала Сливовая Косточка, как вдруг почувствовала силы и прилив энергии. Распрямилась и на поверхности появился маленький зеленый росток. Росток тянулся к солнцу, рос не по дням, а по часам. И Сливовая Косточка даже не заметила, как превратилась в прекрасное стройное цветущее чудо -дерево. К осени созрели плоды, их было так много, что хватило и местной ребятне, прибегавшей на пустырь поиграть, и взрослым, приходившим посмотреть на чудо- дерево. А многие плоды просто упали на землю…
Много ли мало ли времени прошло, только превратился тот пустырь в прекрасный сад. И может быть еще не одна дочка или внучка Сливовой Косточки повторит её путь!
216.37kb.
Сказка о треугольниках
Жила на свете важная геометрическая фигура. Важность её признавалась всеми людьми, ибо при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. Любимая песенка этой чудо фигуры
Меня знает каждый школьник,
И зовусь я треугольник.
У меня вершины три,
Также три и стороны.
Два угла при основании мои равны и боковые стороны одинаковые, думал треугольник и решил назвать себя равнобедренным.
Скучно было равнобедренному треугольнику одному, отправился он искать друзей. Встречает как-то фигуру: стороны три и угла три. Вот только один угол прямой! Ура! Это прямоугольный треугольник! Стали они дружить.
Вместе трудиться, вместе веселиться. Как – то встретили отрезок и решили поэкспериментировать: приложили его одним концом к вершине, а другим к середине противоположной стороны. Красота, это будет МЕДИАНА! Попробуем ещё – поделим угол пополам!
Все также скачет по углам
Веселая, смешная крыса.
Мы делим радость пополам,
А делит угол биссектриса.
Вот так они проводили досуг. Однажды гуляя по лесу, встретили очень похожую парочку. Познакомились и стали играть в сравнение. Прижался равнобедренный треугольник к похожему на себя и все точки совпали. Ура! Мы одинаковые. Думали они о равенстве думали и придумали три теоремы:
-если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны;
— если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны;
— если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Много времени проводят вместе друзья и встречают новых.
Сливовая Косточка.
Как и положено, в сказке начнем с жила была. Итак, жила была на свете Сливовая Косточка. Когда – то давно её бросили в ящик письменного стола и с тех пор забыли. Сливовая Косточка быстро познакомилась со своими соседями: ручками, карандашами, тетрадями. Все это были важные и блестящие особы! Они постоянно говорили о своей нужности и важности. Все без исключения, даже ластик, смотрели на Сливовую Косточку свысока и частенько упрекали её в совершенной бесполезности. Потому пришлось ей занять самый дальний и темный уголок ящика.
Иногда ящик выдвигали, и кто-то надолго пропадал. Возвращались жители притихшими в плачевном состоянии: тетради мятыми исписанными, а иногда и попросту рваными, карандаши и ручки ломанными и даже обкусанными. Они уже больше не хвастались, но и о своих приключениях никогда не рассказывали. Многие исчезали совсем.
И когда в ящике не осталось ни одной блестящей особы его и вовсе перестали открывать. Сливовая Косточка высохла, покрылась пылью. Ей казалось, что она вот-вот умрет, силы покидали её. Ящик вытащили из стола и всех выбросили в мусорный контейнер, а Сливовая Косточка упала мимо и этого даже никто не заметил.
Пошел дождь. Потоком воды подхватило, дрожащую от страха, Сливовую Косточку и отнесло на заброшенный пустырь заросший лопухами и крапивой. Огромное множество муравьёв немедленно окружили гостью. И потащили к себе в подземный муравейник. Ну, вот и все – думала Сливовая Косточка, как вдруг почувствовала силы и прилив энергии. Распрямилась и на поверхности появился маленький зеленый росток. Росток тянулся к солнцу, рос не по дням, а по часам. И Сливовая Косточка даже не заметила, как превратилась в прекрасное стройное цветущее чудо -дерево. К осени созрели плоды, их было так много, что хватило и местной ребятне, прибегавшей на пустырь поиграть, и взрослым, приходившим посмотреть на чудо- дерево. А многие плоды просто упали на землю…
Много ли мало ли времени прошло, только превратился тот пустырь в прекрасный сад. И может быть еще не одна дочка или внучка Сливовой Косточки повторит её путь!
Циркуль и линейка
Жили-были на белом свете король Циркуль и королева Линейка. У них было большое королевство, в котором подданными были точки и отрезки. Однажды подданные отправили делегацию к королю с королевой с просьбой разрешить им провести бал. Циркуль и Линейка дали свое разрешение, но поставили одно условие: точки могут танцевать только с точками, а отрезки – с отрезками. При этом отрезки не имеют права пересекаться друг с другом в точках, не являющихся концами этих отрезков. “А в конце бала, — сказал король, — я сделаю вам сюрприз”.
И начался бал. Точки, взявшись за руки, водили хороводы вокруг какой-то одной, которую они назвали центром. А отрезки, соединившись концами, образовывали самые разные фигуры. Всем было хорошо и весело, а король с королевой, сидя на своих тронах, все время хитро поглядывали на веселящихся подданных. И вдруг… Король встал и хлопнул в ладоши. Все застыли. И тогда королева сказала: “Вот так, как вы теперь стоите, вы и будете жить всегда. Королевским Указом я запрещаю вам расцепляться. Таким образом, в нашем Королевстве появятся новые подданные: окружности, многоугольники и т.д.”
И началась в том королевстве совсем другая жизнь. Но тут вдруг треугольники обнаружили, что в отличие от всех остальных фигур, составленных из отрезков, они не могут менять своей формы. У всех многоугольников, кроме них, была хоть какая-то подвижность, то есть, не меняя своей длины, любой отрезок, не расцепляясь с соседом, мог сделать шаг в сторону, а в многоугольнике менялись от этого только величины углов, но четырехугольник все равно оставался четырехугольником, пятиугольник – пятиугольником и т.д. А вот отрезки, из которых состояли треугольники, никуда двинуться не могли. Поняли треугольники, что это нечестно и пошли к королю жаловаться, но и король не имел права отменить свой Указ и разрешить треугольникам разъединиться. Тогда он им сказал: “Я дам вам то, чего нет ни у одной другой фигуры! У вас будут собственные биссектрисы!” Треугольники обиделись: “У каждого угла есть своя биссектриса. Да и в каждом многоугольнике можно провести столько биссектрис, сколько у него углов”. Но король возразил треугольникам, объяснив им, что биссектриса угла – это луч, а биссектрисы треугольников, то есть биссектрисы их углов, будут отрезками, ибо их будут ограничивать противолежащие этим углам стороны. Но треугольникам этого было мало, да и в самом деле, разве нельзя провести биссектрису угла четырехугольника и ограничить ее противоположной углу стороной? Тогда королева вдруг говорит: “Есть у меня для вас подарок”. Подозвала она к себе один из треугольников (а надо сказать, что была она одета не в нарядное платье с сантиметровой шкалой, а в простое однотонное одеяние), кликнула пажа-карандаша и с помощью мужа разделила одну из сторон треугольника пополам и… соединила середину стороны с противоположной вершиной треугольника! “Этот отрезок, — сказала Линейка, — будет называться медианой. А она может быть только у треугольника!” Треугольники ужасно обрадовались, а потом решили, что уж если, имея определенные стороны и углы, они не могут никак изменяться, то надо использовать это для своей выгоды. Сидели они, думали, гадали и придумали.
Сначала они долго смотрели друг на друга и увидели, что если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между ними, равны, то у этих треугольников будут равны не только третьи стороны, но и два остальных угла! То есть такие треугольники будут равны. Потом они увидели, что то же самое будет, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. А, в конце концов, они разглядели и то, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то и такие треугольники тоже будут равны!
Пошли с этим открытием треугольники опять к королю с королевой, чтобы сообщить им о том, что они обнаружили. И издали тогда король с королевой Указ о том, что все эти утверждения отныне будут называться “Признаками равенства треугольников”. А уж этого-то точно ни у каких других фигур нет и никогда не было.
На этом треугольники и успокоились. Теперь в королевстве Циркуля и Линейки опять все спокойно.
Треугольники долго-долго думали о том, что сказала Богиня и почему дала обруч, и решили они устроить конкурс «Самая красивая фигура». На конкурс пришли тупоугольные, остроугольные, прямоугольные, равнобедренные, равносторонние, разносторонние треугольники. Первое задание было такое: каждый треугольник должен прикасаться до окружности, чтобы окружность была описанной, а треугольник вписанным. Вначале у них ничего не получалось:
Биссектрисы. Второе задание было такое: поместить внутри себя окружность чтобы, стороны касались окружности (окружность вписанная, а треугольник описанный). В начале тоже не получалось. И тогда им помогли их служанки — Биссектрисы. Все прекрасно справились с заданиями.
Но никто не обиделся так, как все почувствовали себя красивыми и счастливыми. И стали выбирать короля и королеву. Сначала выбрали королевой равносторонний треугольник, но она оказалась несовершеннолетней, и по этому выбрали ее маму, равнобедренный треугольник. А королем прямоугольный треугольник.
Наталья Бернаж- Горбенко
Тема
: Ознакомление с плоскостной фигурой- треугольник
.
Цель
: Продолжать знакомить детей с плоскостными геометрическими фигурами
. Учить описывать треугольник
, его особенности, узнавать треугольник
в окружающих предметах. Воспитывать интерес к занятиям.
Жили-были два брата
Треугольник с квадратом
.
Старший-квадратный,
Добродушный приятный.
Младший-треугольный
,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать Квадрат
Почему ты злишься, брат?
Тот кричит ему
:
«Смотри
: ты полней меня и шире,
У меня угла лишь три,
А у тебя-четыре! (Фалькович)
Обиделся Треугольничек и ушёл
. А Квадратик решил пойти и найти своего брата. Только где его искать? Ну конечно, в треугольном лесу
! Помогите, ребята найти Квадратику треугольный лес
!
Почему вы так решили? (рассуждения детей
)
.Пошёл Квадратик в треугольный лес
. Не видно нигде Треугольничка
. Нужно у кого-нибудь спросить. Увидел Квадратик ёжика.
Здравствуй, ёжик! -говорит Квадратик. не видел ли ты моего брата Треугольника
?
А как он выглядит?- спрашивает ёжик. Дети помогают Квадратику описать треугольник
. (у него три угла и три стороны)
А на что он похож? (ответы детей
)
Нет не видел, говорит ёжик. Спросите лучше у лисички.
Пошёл Квадратик искать лисичку.
Здравствуй, лисичка. Помоги найти мне брата моего, Треугольничка
.
А ка он выглядит? (ответы детей
)
Не знаю, может быть и видела. Вот если бы вы смогли его нарисовать. (дети рисуют)
. -Ой, кажется я его видела. Он живет в треугольном домике
. Только это за рекой.
Подошёл Квадратик к реке. Как же ему на другой берег перебраться? Конечно на кораблике! Вон сколько их плавает.
Как вы думаете, какой кораблик нас отвезёт к Треугольничку
?
(рассуждения детей
)
Перебрался Квадратик на другой берег. А вот и домики стоят. Как вы думаете, в каком домике живет Треугольничек
?
(предположения детей
)
А вот и сам Треугольничек
выходит нам на встречу. Всё ещё обижается. Давайте скажем ему добрые слова. Какой он красивый, похож. (ответы детей
. похож на ёлку, горку, крышу.)
Дети дарят портреты Треугольничку
.
Такую вот сказку
сочинили мы с детками., им очень понравилось. А потом детки выкладывали из треугольников разные картинки
. чтобы Треугольничек
больше никогда не обижался.
Равнобедренным является такой треугольник, у которого длины двух его сторон равны между собой.
При решении задач по теме «Равнобедренный треугольник» необходимо пользоваться следующими известными свойствами:
1. Углы, лежащие напротив равных сторон равны между собой.
2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведенные из равных углов, равны между собой.
3. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, между собой совпадают.
4. Центр вписанной и центр описанной окружностей лежат на высоте, а значит и на медиане и биссектрисе, проведенной к основанию.
5. Углы, которые являются равными в равнобедренном треугольнике всегда острые.
Треугольник является равнобедренным, если у него присутствуют следующие признаки:
1. Два угла у треугольника равны.
2. Высота совпадает с медианой.
3. Биссектриса совпадает с медианой.
4. Высота совпадает с биссектрисой.
5. Две высоты треугольника равны.
6. Две биссектрисы треугольника равны.
7. Две медианы треугольника равны.
Рассмотрим несколько задач по теме «Равнобедренный треугольник» и приведем подробное их решение.
Задача 1.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 8, а основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найти, на каком расстоянии от вершины треугольника находится точка пересечения его биссектрис.
Решение.
Пусть дан равнобедренный треугольник АВС (рис. 1).
1) Так как АС : ВС = 6 : 5, то АС = 6х и ВС = 5х. ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора
ВС2 = ВН2 + НС2;
(5х)2 = 82 + (3х)2;
16х2 = 64;
х2 = 4;
х = 2, тогда
АС = 6х = 6 · 2 = 12 и
ВС = 5х = 5 · 2 = 10.
3) Так как точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности, то
ОН = r . Радиус вписанной в треугольник АВС окружности найдем по формуле
S = pr;
r = S/p.
4) SABC = 1/2 · (AC · BH); SABC = 1/2 · (12 · 
= 48;
p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тогда ОН = r = 48/16 = 3.
Отсюда ВО = ВН – ОН; ВО = 8 – 3 = 5.
Ответ: 5.
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Площади треугольников ABD и ADC равны 10 и 12. Найти увеличенную в три раза площадь квадрата, построенного на высоте этого треугольника, проведенной к основанию АС.
Решение.
Рассмотрим треугольник АВС – равнобедренный, АD – биссектриса угла А (рис. 2).
1) Распишем площади треугольников ВАD и DAC:
SBAD = 1/2 · AB · AD · sin α; SDAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Найдем отношение площадей:
SBAD/SDAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Так как SBAD = 10, SDAC = 12, то 10/12 = АВ/АС;
АВ/АС = 5/6, тогда пусть АВ = 5х и АС = 6х.
АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
3) Из треугольника АВН – прямоугольного по теореме Пифагора АВ2 = АН2 + ВН2;
25х2 = ВН2 + 9х2;
ВН = 4х.
4) SAВС = 1/2 · AС · ВН; SAВC = 1/2 · 6х · 4х = 12х2.
Так как SAВС = SBAD + SDAC = 10 + 12 = 22, тогда 22 = 12х2;
х2 = 11/6; ВН2 = 16х2 = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.
5) Площадь квадрата равна ВН2 = 88/3; 3 · 88/3 = 88.
Ответ: 88.
Задача 3.
В равнобедренном треугольнике основание равно 4, а боковая сторона равна 8. Найти квадрат высоты, опущенной на боковую сторону.
Решение.
В треугольнике АВС – равнобедренном ВС = 8, АС = 4 (рис. 3).
1) ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора ВС2 = ВН2 + НС2;
64 = ВН2 + 4;
ВН2 = 60;
ВН = √60.
3) SABC = 1/2 · (AC · BH), а так же SABC = 1/2 · (АМ · ВС), тогда приравняем правые части формул, получим
1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · ВС;
АМ = (AC · BH)/ВС;
АМ = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
АМ2 = 15.
Ответ: 15.
Задача 4.
В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота, равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
В треугольнике АВС – равнобедренном основание АС = 16, ВН = 16 – высота, проведенная к основанию АС (рис. 4).
1) АН = НС = 8 (по свойству равнобедренного треугольника).
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора
ВС2 = ВН2 + НС2;
ВС2 = 82 + 162 = (8 · 2)2 + 82 = 82 · 4 + 82 = 82 · 5;
ВС = 8√5.
3) Рассмотрим треугольник АВС: по теореме синусов 2R = AB/sin C, где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности.
sin C = BH/BC (из треугольника ВНС по определению синуса).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тогда 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Ответ: 10.
Задача 5.
Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть дан равнобедренный треугольник АВС.
1) Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис, то О ϵ ВН и АО является биссектрисой угла А, а ток же ОН = r = 10 (рис. 5).
2) ВО = ВН – ОН; ВО = 36 – 10 = 26.
3) Рассмотрим треугольник АВН. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АН = ВО/ОН;
АВ/АН = 26/10 = 13/5, тогда пусть АВ = 13х и АН = 5х.
По теореме Пифагора АВ2 = АН2 + ВН2;
(13х)2 = 362 + (5х)2;
169х2 = 25х2 + 362;
144х2 = (12 · 3)2;
144х2 = 144 · 9;
х2 = 9;
х = 3, тогда АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) SABC = 1/2 · (AC · BH); SABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Ответ: 540.
Задача 6.
В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника.
Решение.
1) Предположим, что боковые стороны треугольника равны 5, а основание – 20.
Тогда 5 + 5 < 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (рис. 6).
2) Пусть LC = x, тогда BL = 20 – x. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АС = ВL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
тогда 4х = 20 – x;
x = 4.
Таким образом, LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Воспользуемся формулой биссектрисы угла треугольника:
AL2 = AB · AC – BL · LC,
тогда AL2 = 20 · 5 – 4 · 16 = 36;
AL = 6.
Ответ: 6.
Остались вопросы? Не знаете, как решать геометрические задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.